常見的四則運算是一種二元運算，二元運算滿足很多種運算規律。
| 運算 | a+b | a−b | a×b | a÷b | ab | (a,b) | [a,b] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 冪等律 | (a,a)=a | [a,a]=a | |||||
| 交換律 | a+b=b+a | a×b=b×a | (a,b)=(b,a) | [a,b]=[b,a] | |||
| 結合律 | (a+b)+c=a+(b+c) | (a×b)×c=a×(b×c) | ((a,b),c)=(a,(b,c)) | [[a,b],c]=[a,[b,c]] | |||
| 吸收律 | (a,[a,b])=a ([a,b],a)=a (a,[b,a])=a ([b,a],a)=a | [a,(a,b)]=a [(a,b),a]=a [a,(b,a)]=a [(b,a),a]=a | |||||
| 反運算 | a+b−b=a | a−b+b=a | a×b÷b=a | a÷b×b=a | |||
| 交換律 反運算 | a+b=c b+a=c | c−b=a c−a=b | a×b=c b×a=c | c÷b=a，b≠0 c÷a=b，a≠0 | |||
| 分配律 | (a±b)×c=a×c±b×c c×(a±b)=c×a±c×b | (a±b)÷c=a÷c±b÷c | (a×b)c=ac×bc (a÷b)c=ac÷bc | ([a,b],c)=[(a,c),(b,c)] (c,[a,b])=[(c,a),(c,b)] | [(a,b),c]=([a,c],[b,c]) [c,(a,b)]=([c,a],[c,b]) | ||
| 吸收元素 | a×0=0 0×a=0 | 0÷a=0，a≠0 | 0a=0，a>0 1a=1 | (a,1)=1 (1,a)=1 | [a,0]=0 [0,a]=0 | ||
| 單位元素 | a+0=a 0+a=a | a−0=a a−a=0 | a×1=a 1×a=a | a÷1=a a÷a=1，a≠0 | a1=a | (a,0)=a (0,a)=a | [a,1]=a [1,a]=a |
| 反元素 | −a+a=0 a+(−a)=0 | 0−a=−a 0−(−a)=a | a≠0 a−1×a=1 a×a−1=1 | a≠0 1÷a=a−1 1÷a−1=a | |||
| 等量公理 | 若a=b則 a+c=b+c c+a=c+b | 若a=b則 a−c=b−c c−a=c−b | 若a=b則 a×c=b×c c×a=c×b | 若a=b則 a÷c=b÷c，c≠0 c÷a=c÷b，a,b≠0 | 若a=b則 ac=bc ca=cb | 若a=b則 (a,c)=(b,c) (c,a)=(c,b) | 若a=b則 [a,c]=[b,c] [c,a]=[c,b] |
| 消去律 | 若 a+c=b+c c+a=c+b 則a=b | 若 a−c=b−c c−a=c−b 則a=b | 若c≠0 a×c=b×c c×a=c×b 則a=b | 若 a÷c=b÷c c÷a=c÷b，c≠0 則a=b | 若c≠0,±1 ca=cb 則a=b | ||
| 其他 | ca+b=ca×cb ca−b=ca÷cb ab×c=(ab)c a0=1 |