整除、最大公因數、最小公倍數、格

正整數整除最大公因數最小公倍數可以形成一個很重要的數學結構。以下我們以ab表示a整除b,(a,b)表示ab的最大公因數,[a,b]表示ab的最小公倍數。

關聯
ab若且惟若(a,b)=a或[a,b]=b。例如3∣6,(3,6)=3,[3,6]=6。
反身性冪等律
aa,(a,a)=a,[a,a]=a。例如6∣6,(6,6)=6,[6,6]=6。
交換律
(a,b)=(b,a),[a,b]=[b,a]。例如(6,8)=(8,6)=2,[6,8]=[8,6]=24。
結合律
((a,b),c)=(a,(b,c))=(a,b,c),[[a,b],c]=[a,[b,c]]=[a,b,c]。例如((12,18),27)=(12,(18,27))=(12,18,27)=3,[[12,18],27]=[12,[18,27]]=[12,18,27]=108。
吸收律
(a,b)∣aa∣[a,b],[a,(a,b)]=a,(a,[a,b])=a。例如(6,8)∣6,6∣[6,8],[6,(6,8)]=6,(6,[6,8])=6。即最大公因數是因數,最小公倍數是倍數。
分配律
abac,則a∣(b,c);若baca,則[b,c]∣a。[a,(b,c)]=([a,b],[a,c]);(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]。例如若2∣12且2∣18,則2∣(12,18);若12∣72且18∣72,則[12,18]∣72。[2,(12,18)]=([2,12],[2,18]);(72,[12,18])=[(72,12),(72,18)]。即公因數是最大公因數的因數,公倍數是最小公倍數的倍數。
對偶性
以上的恆等式中,可以將最大公因數換成最小公倍數,將最小公倍數換成最大公因數,就得到另一恆等式。
最小因數1
1∣a,(1,a)=1,[1,a]=a。例如1∣6,(1,6)=1,[1,6]=6。即1是任何正整數的因數,任何正整數都是1的倍數。