二元一次Diophantus方程式

Diophantus方程式

找整數解的不定方程式（有無限多解的方程式，一般來說，未知數比方程式多都是）。對於Diophantus方程式有常見的問題如下

• 有解嗎？
• 除了一些顯然易見的解外，還有哪些解？
• 解的數目是有限還是無限？
• 理論上，所有解是否都能找到？
• 實際上能否計算出所有解？

著名的Diophantus方程式

數學上很多著名的難題都是Diophantus方程式:

Catalan猜想

Diophantus方程式x^a−y^b=1，x、y、a、b都是大於1的正整數，只有唯一解x=3、a=2、y=2、b=3，即3²−2³=1。已證。

Erdős-Straus猜想

對於任何一個大於1的正整數n，Diophantus方程式

4

n

=

1

x

+

1

y

+

1

z

存在正整數解。未解決。

Fermat最後定理

對於任何一個大於2的正整數n，Diophantus方程式xⁿ+yⁿ=zⁿ不存在正整數解。已證。

完美長方體

是否存在一個棱、面對角線和體對角線都是正整數的長方體？即以下Diophantus聯立方程式是否存在正整數解：

• a²+b²=d²
• b²+c²=e²
• a²+c²=f²
• a²+b²+c²=g²

未解決。

二元一次Diophantus方程式

最簡單的Diophantus方程式就是二元一次Diophantus方程式ax+by=c，其中a、b、c、x、y都是整數。方程式存在解的充要條件是，(a,b)∣c。因此等號兩邊同除以(a,b)，可以得到互質的x、y係數。所以不妨假設a、b互質，如果x、y是其中一解，則一般解是x+bk、y−ak。這是因為a(x+bk)+b(y−ak)=ax+abk+by−abk=ax+by=c。

擴充型輾轉相除法

我們可以擴充輾轉相除法求得二元一次Diophantus方程式ax+by=(a,b)的解，其中a、b、c、x、y都是整數。特別地，如果a、b互質，則可以求出ax+by=1的解。如果x、y是ax+by=1的解，那麼cx、cy就是ax+by=c的解。這是因為a(cx)+b(cy)=c(ax)+c(by)=c(ax+by)=c×1=c。