數學科展候選

4D Euler磚塊

3D Euler磚塊是存在的，即長、寬、高以及各面的對角線都是正整數。最小的長、寬、高是240、117、44。但是否存在4D Euler磚塊呢？即下列聯立方程式是否存在正整數解？
a²+b²=e²
a²+c²=f²
b²+c²=g²
a²+d²=h²
b²+d²=i²
c²+d²=j²
依照基本的整數性質，可以知道如果四個邊長abcd的最大公因數為1(如果不是的話，四個邊長abcd除以最大公因數就得到)，則四個邊長abcd有以下性質。
有一個邊是64的倍數，第二邊是16的倍數，第三邊是4的倍數，第四邊是奇數。
有一個邊是27的倍數，第二邊是9的倍數，第三邊是3的倍數。
有兩邊是5的倍數。
有兩邊是11的倍數。
有一邊是13的倍數。
有一邊是19的倍數。
未解決，應該可以算到abcd最大值到94,906,265，有待跑程式解決。

15隻象棋子

15隻象棋子在最糟的情形下，最多幾步保證可以完成。還未計算，應該可以用電腦算出。而且被移走的棋子為何以及目的陣勢為何應該會影響。

途中相遇問題

三人以上同向(或異向)繞圈圈，同時同地出發，途中(非出發點)相遇是否可能，條件為何？目前初步結果如下：
假設三人同向繞圈圈，繞一圈所需時間分別為i、j、k分鐘，則我們不妨假設i、j、k的最大公因數是是1。因為如果不是1，比如是2，則我們可以改變單位，以最大公因數2分鐘為單位，這時三數i、j、k的最大公因數就會變成1。再來求出i、j、k的最小公倍數為l，則l分別除以i、j、k所得的商分別為x、y、z。則三人同時在出發點碰面剛好就是l分鐘，而這時三人分別繞了x、y、z圈。如果存在整數m>1，使得x、y、z對模m同餘，則三人就會在1/m圈相遇。比如i、j、k分別為9、7、3，則最小公倍數l=63，x、y、z分別為7、9、21，模m=2。即63分鐘時三人分別繞了7、9、21圈，那63/2分鐘時三人分別繞了7/2=3+1/2、9/2=4+1/2、21/2=10+1/2圈，剛好會在1/2圈碰面。模m的算法很簡單，求出z-x和y-x的最大公因數即可。程式，可能會很慢請耐心等待。目前問題有三：
一、對於任意模m，是否一定存在i、j、k，而這樣的i、j、k是否有無限多。<-已解決
二、共軛：i、j、k和x、y、z的角色可以互相對調。也就是說，三人繞圈圈所需的時間分別為x、y、z分鐘，則x、y、z的最大公因數為1，且最小公倍數為l，l除以x、y、z所得的商分別為i、j、k，而i、j、k對於模m同餘。<-已解決
三、對於更多的人，或者有異向的情形，答案又是如何？

過河

其實過河問題是我所謂的分堆移動問題，這類問題至少包含三種常見的問題，河內塔，分酒，及過河問題。常見分成三堆，而且移動有一定的限制。在河內塔及分酒中，並沒有限定從哪個移動到哪一個，過河問題中，河的兩岸視為兩堆，只能藉由中間的渡船(也算是一堆)來移動。分酒移動時有個限制，不是倒滿就是倒光，河內塔有個限制，大的必須在小的下面，即大的要先移到某一堆，小的才放入，而過河問題則是有各種不同可在一起不可在一起甚至必須在一起的條件。河內塔裡有同堆後進先出的限制，分酒每公升都是一樣的，毫無區別，過河則有不同角色的限制。還有河內塔一般不限制分堆的容量，分酒則是固定的，過河一般中間只能兩個或三個。過河還有船必須移回來的條件，即左堆移到中間堆，中間堆移到右堆，再從右堆移回中間堆，再移回左堆。總之，我們可以研究一般化的分堆移動問題，取代過河問題。
河內塔擴充問題，如果假設三根柱子排成一列，而且只能移到隔壁柱子。那麼將最左邊n個盤子移到最右邊(或最右邊移到最左邊)需要移動3ⁿ-1次。如果是兩邊移到中間(或中間移到兩邊)需要移動(3ⁿ-1)/2次