三角形的心

三角形的心
編號	名稱	三線坐標	重心坐標	等角共軛	等截共軛	旁點	說明
`X`(1)	內心	1	`a`	`X`(1)	`X`(75)	✓	三內角平分線的交點，內切圓的圓心。
`X`(2)	重心	1⁄`a`	1	`X`(6)	`X`(2)	✗	三中線的交點。
`X`(3)	外心	`a`(`b`²+`c`²−`a`²)	`a`²(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(4)	`X`(264)	✗	三邊垂直平分線的交點，外接圓的圓心。
`X`(4)	垂心	1⁄[`a`(`b`²+`c`²−`a`²)]	1⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(3)	`X`(69)	✗	三高（或延長線）的交點。
`X`(5)	九點圓心	[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]⁄`a`	`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²	`X`(54)	`X`(95)	✗	三邊的中點、三高的垂足和三頂點到垂心的中點，共九點在同一圓上，稱為九點圓。
`X`(6)	類似重心	`a`	`a`²	`X`(2)	`X`(76)	✗	三類似中線（以角平分線為對稱軸，中線的鏡射）的交點。
`X`(7)	Gergonne點	1⁄[`a`(`b`+`c`−`a`)]	1⁄(`b`+`c`−`a`)	`X`(55)	`X`(8)	✓	三條頂點到對邊與內切圓的切點的連線的交點。
`X`(8)	Nagel點	(`b`+`c`−`a`)⁄`a`	`b`+`c`−`a`	`X`(56)	`X`(7)	✓	三條頂點到對邊與旁切圓的切點的連線的交點。
`X`(9)	Mittenpunkt	`b`+`c`−`a`	`a`(`b`+`c`−`a`)	`X`(57)	`X`(85)	✓	三條旁心到對邊的中點的連線的交點。
`X`(10)	Spieker心	(`b`+`c`)⁄`a`	`b`+`c`	`X`(58)	`X`(86)	✓	三邊中點所形成的三角形的內心。
`X`(11)	Feuerbach點	(`b`−`c`)²(`b`+`c`−`a`)⁄`a`	(`b`−`c`)²(`b`+`c`−`a`)	`X`(59)	`X`(4998)	✓	內切圓與九點圓的切點。
`X`(12)	`X`(12)	(`b`+`c`)²⁄[(`b`+`c`−`a`)`a`]	(`b`+`c`)²⁄(`b`+`c`−`a`)	`X`(60)	`X`(261)	✓	三條頂點到九點圓與旁切圓的切點的連線的交點。
`X`(13)	第一Fermat點	1⁄{`a`[√3(`b`²+`c`²−`a`²)+4`△`]}	1⁄[√3(`b`²+`c`²−`a`²)+4`△`]	`X`(15)	`X`(298)	✗	三條頂點到對邊為一邊向外作正三角形的第三個頂點的連線的交點。
`X`(14)	第二Fermat點	1⁄{`a`[√3(`b`²+`c`²−`a`²)−4`△`]}	1⁄[√3(`b`²+`c`²−`a`²)−4`△`]	`X`(16)	`X`(299)	✗	三條頂點到對邊為一邊向內作正三角形的第三個頂點的連線的交點。
`X`(15)	第一等力點	`a`[√3(`b`²+`c`²−`a`²)+4`△`]	`a`²[√3(`b`²+`c`²−`a`²)+4`△`]	`X`(13)	`X`(300)	✗	三個頂點與內角及外角平分線與對邊的兩個交點所形成的直角三角形的外接圓相交於兩點，分別稱為第一及第二等力點。
`X`(16)	第二等力點	`a`[√3(`b`²+`c`²−`a`²)−4`△`]	`a`²[√3(`b`²+`c`²−`a`²)−4`△`]	`X`(14)	`X`(301)	✗	三個頂點與內角及外角平分線與對邊的兩個交點所形成的直角三角形的外接圓相交於兩點，分別稱為第一及第二等力點。
`X`(17)	第一Napoleon點	1⁄[`a`(`b`²+`c`²−`a`²+4√3`△`]	1⁄(`b`²+`c`²−`a`²+4√3`△`)	`X`(61)	`X`(302)	✗	三條頂點到對邊為底邊向外作頂角為120°的等腰三角形的頂角的頂點的連線的交點。
`X`(18)	第二Napoleon點	1⁄[`a`(`b`²+`c`²−`a`²−4√3`△`]	1⁄(`b`²+`c`²−`a`²−4√3`△`)	`X`(62)	`X`(303)	✗	三條頂點到對邊為底邊向內作頂角為120°的等腰三角形的頂角的頂點的連線的交點。
`X`(19)	Clawson點	1⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`a`⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(63)	`X`(304)	✓	垂足三角形與外切線三角形的位似中心。
`X`(20)	de Longchamps點	[(`a`²+`b`²+`c`²)²−4(`a`⁴+`b`²`c`²)]⁄`a`	(`a`²+`b`²+`c`²)²−4(`a`⁴+`b`²`c`²)	`X`(64)	`X`(253)	✗	反補三角形的垂心。
`X`(21)	Schiffler點	(`b`+`c`−`a`)⁄(`b`+`c`)	`a`(`b`+`c`−`a`)⁄(`b`+`c`)	`X`(65)	`X`(1441)	✓	三條頂點到內心的連線段將三角形分割成三個小三角形，這些三角形的Euler線相交於一點。
`X`(22)	Exeter點	`a`(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴)	`a`²(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴)	`X`(66)	`X`(858)	✗	三條中線的延長線與外接圓的交點形成的三角形，這個三角形和切線三角形的透視點。
`X`(23)	far-out點	`a`(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴−`b`²`c`²)	`a`²(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴−`b`²`c`²)	`X`(67)	`X`(?)	✗	重心對外接圓的反演。
`X`(24)	`X`(24)	`a`[2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`a`²[2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`X`(68)	`X`(?)	✗	三角形和垂足三角形的垂足三角形的透視點。
`X`(25)	`X`(25)	`a`⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`a`²⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(69)	`X`(305)	✗	垂足三角形與切線三角形的位似中心。
`X`(26)	`X`(26)	`a`[(`a`⁸−2`a`⁶(`b`²+`c`²)+2`a`²(`b`⁶+`c`⁶)−(`b`⁴+`c`⁴)(`b`²−`c`²)²]	`a`²[(`a`⁸−2`a`⁶(`b`²+`c`²)+2`a`²(`b`⁶+`c`⁶)−(`b`⁴+`c`⁴)(`b`²−`c`²)²]	`X`(70)	`X`(?)	✗	切線三角形的外心。
`X`(27)	`X`(27)	1⁄[`a`(`b`+`c`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	1⁄[(`b`+`c`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	`X`(71)	`X`(306)	✓	垂心與Clawson點的Ceva點。
`X`(28)	`X`(28)	1⁄[(`b`+`c`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	`a`⁄[(`b`+`c`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	`X`(72)	`X`(?)	✓	Clawson點與`X`(25)的Ceva點。
`X`(29)	`X`(29)	(`b`+`c`−`a`)⁄[`a`(`b`+`c`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	(`b`+`c`−`a`)⁄[(`b`+`c`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	`X`(73)	`X`(307)	✓	內心與垂心的Ceva點。
`X`(30)	Euler無窮遠點	[2`a`⁴−`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]⁄`a`	2`a`⁴−`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²	`X`(74)	`X`(1494)	✗	Euler線的無窮遠點。
`X`(31)	二次冪點	`a`²	`a`³	`X`(75)	`X`(561)	✓	三線坐標是二次方。
`X`(32)	三次冪點	`a`³	`a`⁴	`X`(76)	`X`(1502)	✗	三線坐標是三次方。
`X`(33)	`X`(33)	(`b`+`c`−`a`)⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`a`(`b`+`c`−`a`)⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(77)	`X`(?)	✓	垂足三角形與內切線三角形的位似中心。
`X`(34)	`X`(34)	1⁄[(`b`+`c`−`a`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	`a`⁄[(`b`+`c`−`a`)(`b`²+`c`²−`a`²)]	`X`(78)	`X`(?)	✓	垂心的垂心-ב共軛。
`X`(35)	`X`(35)	`a`(`b`²+`c`²−`a`²+`bc`)	`a`²(`b`²+`c`²−`a`²+`bc`)	`X`(79)	`X`(?)	✓	`X`(36)的{內心,外心}-調和共軛。
`X`(36)	`X`(36)	`a`(`b`²+`c`²−`a`²−`bc`)	`a`²(`b`²+`c`²−`a`²−`bc`)	`X`(80)	`X`(?)	✓	內心對外接圓的反演。
`X`(37)	`X`(37)	`b`+`c`	`a`(`b`+`c`)	`X`(81)	`X`(274)	✓	內心與重心的交叉點。
`X`(38)	`X`(38)	`b`²+`c`²	`a`(`b`²+`c`²)	`X`(82)	`X`(3112)	✓	內心與`X`(75)的交叉點。
`X`(39)	Brocard中點	`a`(`b`²+`c`²)	`a`²(`b`²+`c`²)	`X`(83)	`X`(308)	✗	兩個Brocard點的中點。
`X`(40)	Bevan點	4`abc`−(`a`+`b`+`c`)(`c`+`a`−`b`)(`a`+`b`−`c`)	a[4`abc`−(`a`+`b`+`c`)(`c`+`a`−`b`)(`a`+`b`−`c`)]	`X`(84)	`X`(309)	✓	三條旁心到對邊與旁切圓的切點的連線的交點。
`X`(41)	`X`(41)	`a`²(`b`+`c`−`a`)	`a`³(`b`+`c`−`a`)	`X`(85)	`X`(?)	✓	`X`(31)的類似重心-Ceva共軛。
`X`(42)	`X`(42)	`a`(`b`+`c`)	`a`²(`b`+`c`)	`X`(86)	`X`(310)	✓	內心與類似重心的交叉點。
`X`(43)	`X`(43)	1⁄`b`+1⁄`c`−1⁄`a`	`a`(1⁄`b`+1⁄`c`−1⁄`a`)	`X`(87)	`X`(?)	✓	內心的類似重心-Ceva共軛。
`X`(44)	`X`(44)	`b`+`c`−2`a`	`a`(`b`+`c`−2`a`)	`X`(88)	`X`(?)	✓	內心的類似重心-線共軛。
`X`(45)	`X`(45)	2`b`+2`c`−`a`	`a`(2`b`+2`c`−`a`)	`X`(89)	`X`(?)	✓	內心的Mittenpunkt-ב共軛。
`X`(46)	`X`(46)	(`a`+`b`+`c`)(`c`+`a`−`b`)(`a`+`b`−`c`)−2`abc`	`a`[(`a`+`b`+`c`)(`c`+`a`−`b`)(`a`+`b`−`c`)−2`abc`]	`X`(90)	`X`(?)	✓	內心的垂心-Ceva共軛。
`X`(47)	`X`(47)	`a`²[2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`a`³[2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`X`(91)	`X`(?)	✓	`X`(34)的`X`(110)-ב共軛。
`X`(48)	`X`(48)	`a`²(`b`²+`c`²−`a`²)	`a`³(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(92)	`X`(1969)	✓	內心與`X`(63)的交叉點。
`X`(49)	`X`(49)	`a`³(`b`²+`c`²−`a`²)[3`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`a`⁴(`b`²+`c`²−`a`²)[3`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`X`(93)	`X`(?)	✗	三倍角正弦的圓心。
`X`(50)	`X`(50)	`a`³(`b`²+`c`²−`a`²+`bc`)(`b`²+`c`²−`a`²−`bc`)	`a`⁴(`b`²+`c`²−`a`²+`bc`)(`b`²+`c`²−`a`²−`bc`)	`X`(94)	`X`(?)	✗	`X`(184)的`X`(74)-Ceva共軛。
`X`(51)	`X`(51)	`a`[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]	`a`²[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]	`X`(95)	`X`(?)	✗	垂足三角形的重心。
`X`(52)	`X`(52)	`a`[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²][2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`a`²[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²][2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]	`X`(96)	`X`(?)	✗	垂足三角形的垂心。
`X`(53)	`X`(53)	[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]⁄[`a`(`b`²+`c`²−`a`²)]	[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]⁄(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(97)	`X`(?)	✗	垂足三角形的重心。
`X`(54)	Kosnita點	`a`⁄[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]	`a`²⁄[`a`²(`b`²+`c`²)−(`b`²−`c`²)²]	`X`(5)	`X`(311)	✗	三頂點到外心的連線段將三角形分成三個三角形，三頂點到這些三角形的外心的連線交於一點。
`X`(55)	內似中心	`a`(`b`+`c`−`a`)	`a`²(`b`+`c`−`a`)	`X`(7)	`X`(?)	✓	內切圓與外接圓的內部相似中心。
`X`(56)	外似中心	`a`⁄(`b`+`c`−`a`)	`a`²⁄(`b`+`c`−`a`)	`X`(8)	`X`(?)	✓	內切圓與外接圓的外部相似中心。
`X`(57)	`X`(57)	1⁄(`b`+`c`−`a`)	`a`⁄(`b`+`c`−`a`)	`X`(9)	`X`(312)	✓	內切點三角形與旁心三角形的位似中心。
`X`(58)	`X`(58)	`a`⁄(`b`+`c`)	`a`²⁄(`b`+`c`)	`X`(10)	`X`(313)	✓	Spieker心的等角共軛。
`X`(59)	`X`(59)	`a`⁄[(`b`+`c`−`a`)(`b`−`c`)²]	`a`²⁄[(`b`+`c`−`a`)(`b`−`c`)²]	`X`(11)	`X`(?)	✓	Feuerbach點的等角共軛。
`X`(60)	`X`(60)	`a`(`b`+`c`−`a`)⁄(`b`+`c`)²	`a`²(`b`+`c`−`a`)⁄(`b`+`c`)²	`X`(12)	`X`(?)	✓	`X`(12)的等角共軛。
`X`(61)	`X`(61)	`a`(`b`²+`c`²−`a`²+4√3`△`)	`a`²(`b`²+`c`²−`a`²+4√3`△`)	`X`(17)	`X`(?)	✗	第一Napoleon點的等角共軛。
`X`(62)	`X`(62)	`a`(`b`²+`c`²−`a`²−4√3`△`)	`a`²(`b`²+`c`²−`a`²−4√3`△`)	`X`(18)	`X`(?)	✗	第二Napoleon點的等角共軛。
`X`(63)	`X`(63)	`b`²+`c`²−`a`²	`a`(`b`²+`c`²−`a`²)	`X`(19)	`X`(92)	✓	`X`(19)的等角共軛。
`X`(64)	`X`(64)	`a`⁄[(`a`²+`b`²+`c`²)²−4(`a`⁴+`b`²`c`²)]	`a`²⁄[(`a`²+`b`²+`c`²)²−4(`a`⁴+`b`²`c`²)]	`X`(20)	`X`(?)	✗	de Longchamps點的等角共軛。
`X`(65)	`X`(65)	(`b`+`c`)⁄(`b`+`c`−`a`)	`a`(`b`+`c`)⁄(`b`+`c`−`a`)	`X`(21)	`X`(314)	✓	內切點三角形的垂心。
`X`(66)	`X`(66)	1⁄[`a`(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴)]	1⁄(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴)	`X`(22)	`X`(315)	✗	Exeter點的等角共軛。
`X`(67)	`X`(67)	1⁄[`a`(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴−`b`²`c`²)]	1⁄(`b`⁴+`c`⁴−`a`⁴−`b`²`c`²)	`X`(23)	`X`(316)	✗	far-out點的等角共軛。
`X`(68)	Prasolov點	1⁄{`a`[2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²]}	2`b`²`c`²−(`b`²+`c`²−`a`²)²	`X`(24)	`X`(317)	✗	三角形和垂足三角形對九點圓心的反射的透視點。
`X`(175)	外Soddy圓心	1−2`△`⁄[`a`(`b`+`c`−`a`)]	`a`−2`△`⁄(`b`+`c`−`a`)	`X`(?)	`X`(?)	✓	與三頂點為圓心互相外切的圓相切的圓有兩個，在三角形外部的稱為外Soddy圓。
`X`(176)	內Soddy圓心	1+2`△`⁄[`a`(`b`+`c`−`a`)]	`a`+2`△`⁄(`b`+`c`−`a`)	`X`(?)	`X`(?)	✓	與三頂點為圓心互相外切的圓相切的圓有兩個，在三角形外部的稱為內Soddy圓。

角平分線
垂心系統: △ABC的垂心X(4)為H。則△HBC的垂心為A，△AHC的垂心為B，△ABH的垂心為C。換句話說，將A、B、C、H四點中任取三點所形成的三角形的垂心就是第四點。因此我們將A、B、C、H四點稱為垂心系統。△ABC的外心X(3)為O，△HBC的外心為O_A，△AHC的外心為O_B，△ABH的外心為O_C。則O_A、O_B、O_C、O亦形成另一垂心系統。此外，此兩垂心系統A、B、C、H與O_A、O_B、O_C、O恰好形成點對稱，對稱中心為九點圓心X(5)，記為N。N還將垂心系統的任兩點的中點對稱到另兩點的中點。如圖。
十六圓