整除、最大公因數、最小公倍數、格

正整數的整除、最大公因數、最小公倍數可以形成一個很重要的數學結構—格。以下我們以a∣b表示a整除b，(a,b)表示a和b的最大公因數，[a,b]表示a和b的最小公倍數。

關聯

a∣b若且惟若(a,b)=a或[a,b]=b。例如3∣6，(3,6)=3，[3,6]=6。

反身性、冪等律

a∣a，(a,a)=a，[a,a]=a。例如6∣6，(6,6)=6，[6,6]=6。

交換律

(a,b)=(b,a)，[a,b]=[b,a]。例如(6,8)=(8,6)=2，[6,8]=[8,6]=24。

結合律

((a,b),c)=(a,(b,c))=(a,b,c)，[[a,b],c]=[a,[b,c]]=[a,b,c]。例如((12,18),27)=(12,(18,27))=(12,18,27)=3，[[12,18],27]=[12,[18,27]]=[12,18,27]=108。

吸收律

(a,b)∣a，a∣[a,b]，[a,(a,b)]=a，(a,[a,b])=a。例如(6,8)∣6，6∣[6,8]，[6,(6,8)]=6，(6,[6,8])=6。即最大公因數是因數，最小公倍數是倍數。

分配律

若a∣b且a∣c，則a∣(b,c)；若b∣a且c∣a，則[b,c]∣a。[a,(b,c)]=([a,b],[a,c])；(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]。例如若2∣12且2∣18，則2∣(12,18)；若12∣72且18∣72，則[12,18]∣72。[2,(12,18)]=([2,12],[2,18])；(72,[12,18])=[(72,12),(72,18)]。即公因數是最大公因數的因數，公倍數是最小公倍數的倍數。

對偶性

以上的恆等式中，可以將最大公因數換成最小公倍數，將最小公倍數換成最大公因數，就得到另一恆等式。

最小因數1

1∣a，(1,a)=1，[1,a]=a。例如1∣6，(1,6)=1，[1,6]=6。即1是任何正整數的因數，任何正整數都是1的倍數。