π

數學上最常研究的常數，第一是0，第二是1，第三大概就是圓周率π了。圓周率的定義，國小就已經教過，一個圓的周長除以直徑。國小通常以3.14當近似值，其實π是一個無限不循環小數。

含π的數學公式

• 圓周長C=2πr，其中r是半徑。
• 圓面積A=πr²。
• 球面表面積A=4πr²。
• 球面體積V=

  4

  3

  πr²。
• 角度180°=弧度π。
• Euler恆等式e^iπ+1=0。
• Stirling公式
• 兩個任意自然數是互質的機率是

  6

  π2

  。
• 任取一個任意整數，該整數沒有重複質因數的機率為

  6

  π2

  。

π的性質

無理數

如果一個數可以寫成兩個整數的比值，就稱為有理數。否則就稱為無理數。1761年，Johann Heinrich Lambert證明π是無理數，也就是一個無限不循環小數。

超越數

如果一個數是一個整數係數的多項式方程式的根，就稱為代數數。否則就稱為超越數。1882年，Ferdinand von Lindemann證明π是超越數。同時證明了尺規作圖中化圓為方是不可能的。

正規數

如果一個數在任何進位制之下，它的小數表示法呈現隨機分布，就稱為正規數。目前的猜測是π是正規數，只是還沒有人可以證明。

近似公式和近似值

• Leibniz，

  π

  4

  =

  ∞

  ∑

  k=0

  (−1)k

  2k+1

  =

  1

  1

  −

  1

  3

  +

  1

  5

  −

  1

  7

  +

  1

  9

  −

  1

  11

  ⋯。
• Euler，

  π2

  6

  =

  ∞

  ∑

  k=1

  1

  k2

  =

  1

  12

  +

  1

  22

  +

  1

  32

  ⋯。
• Chudnovsky，

  1

  π

  =12

  ∞

  ∑

  k=0

  (−1)k(6k)!(13591409+545140134k)

  (3k)!(k!)36403203k+ 3 2

  ，目前個人電腦上計算π最快的近似公式。
• 2013年12月28日，進藤茂利用y-cruncher使用Chudnovsky公式計算π到小數點後12100000000050位。