畢氏數
- 畢氏三元數
- 三個正整數a、b、c，如果滿足畢氏定理(或勾股定理)a2+b2=c2，我們就稱(a、b、c)是一組畢氏三元數。
- 互質畢氏三元數
- (a、b、c)是一組畢氏三元數，而且a、b、c兩兩互質，我們就稱(a、b、c)是一組互質畢氏三元數。
- 歐式公式
- 任何一組互質畢氏三元數(a、b、c)都可以表示成(m2-n2、2mn、m2+n2)。其中m>n而且m、n互質，而且一奇數一偶數。如果m、n都是奇數，則m2-n2、2mn、m2+n2都是偶數，並不會互質。
證明：由於a、b、c兩兩互質，不妨假設a、c是奇數，b是偶數。
由a2+b2=c2
移項得b2=c2-a2
由平方差公式b2=(c+a)(c-a)
令d=c+a，e=c-a，b2=de
由於c、a都是奇數，d、e都是偶數
令d=2g，e=2h
則d=c+a，e=c-a變成2g=c+a，2h=c-a
相加又相減得2g+2h=2c，2g-2h=2a
消掉2得c=g+h，a=g-h
又b是偶數，令b=2f
則b2=de變成4f2=(2f)2=2g×2h=4gh
消掉4得f2=gh
為了使得gh是完全平方，令g=m2，h=n2
則f2=gh變成f2=m2n2
求平方根得f=mn
最後a=g-h=m2-n2，b=2f=2mn，c=g＋h=m2+n2
證完
- 畢氏三元數的因數
- (a、b、c)是一組畢氏三元數(不一定互質)，則a、b兩數至少有一個是3的倍數，a、b兩數至少有一個是4的倍數，a、b、c三數至少有一個是5的倍數。
- 費馬最後定理
- 當正整數n>2，方程式an+bn=cn不存在正整數解。此定理由Andrew John Wiles在1994所證明。