數學未解決問題

數學有兩大面向，一是計算，二是證明。計算是使用正確的方法計算出結果，證明是將一般的情況給予確定（不論對錯）的解釋。有時候證明也是要靠計算，譬如找到例子或反例就需要計算。愈艱深的數學，愈需要證明給予確定。數學中有很多未解決的問題等待數學解決，尤其是很多數論問題，數百年來都沒人知道正確的答案。以下未解決的問題，主要是數論問題，敘述國中生就懂，但都是非常艱深的數學問題。

孿生質數

孿生質數是指一對質數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生質數。孿生質數猜想是指存在無限多對的孿生質數。

完全數

完全數，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因數（即除了自身以外的因數）的和，恰好等於它本身。例如:第一個完全數是6，它有因數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1+2+3＝6。第二個完全數是28，它有因數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1+2+4+7+14＝28。後面的數是496、8128。

偶完全數－若且唯若它具有如下形式：2^p−1(2^p−1)，其中p和2^p−1都是質數（Mersenne質數）此事實的充分性由Euclid證明，而必要性則由Euler所證明。

1. p=2: 2^2-1×(2²−1)=2×3=6
2. p=3: 2^3-1×(2³−1)=4×7=28
3. p=5: 2^5-1×(2⁵−1)=16×31=496
4. p=7: 2^7-1×(2⁷−1)=64×127=8182

因為一個Mersenne質數對應一個偶完全數。目前我們並不知道是否有無限多個Mersenne質數，換句話說，我們也不知道是否有無限多個偶完全數。

至於奇完全數是否存在也不知道，大多猜測奇完全數並不存在。

Goldbach猜想

是指任一大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和。例如，4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5。

Collatz猜想

又稱為3n+1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、Hasse猜想、Ulam猜想或Syracuse猜想。是指對於每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘3再加1，如果它是偶數，則對它除以2，如此循環，最終都能夠得到1。

• 如n=6，根據上述公式，得出：6→3→10→5→16→8→4→2→1。（步驟中最高的數是16，共有7個步驟）
• 如n=11，根據上述公式，得出：11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。（步驟中最大的數是40，共有13個步驟）
• 如n=27，根據上述公式，得出：27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1。（步驟中最大的數是9232，共有111個步驟）

Gilbreath猜想

將所有質數從小到大排成一無窮數列，然後計算出相鄰項的差（正），得出一個新無窮數列，又再計算新無窮數列相鄰項的差（正），重複這個動作無限次。Gilbreath猜想是指除了原本質數數列之外，其他數列的首項都是1：

• 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…
• 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,…
• 1,0,2,2,2,2,2,2,4,…
• 1,2,0,0,0,0,0,2,…
• 1,2,0,0,0,0,2,…